【排列组合基本公式】在数学中，排列与组合是研究从一组元素中选取若干个元素进行排列或组合的方法。它们广泛应用于概率、统计、计算机科学等领域。本文将对排列与组合的基本公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本概念
1. 排列（Permutation）：从n个不同元素中取出m个元素，按一定顺序排成一列，称为排列。排列与顺序有关。
2. 组合（Combination）：从n个不同元素中取出m个元素，不考虑顺序，称为组合。组合与顺序无关。
二、排列组合公式总结
| 类型 | 定义 | 公式 | 说明 |
| 排列 | 从n个不同元素中取出m个元素，按顺序排列 | $ P(n, m) = \frac{n!}{(n - m)!} $ | n ≥ m，m为取的元素个数 |
| 全排列 | 从n个不同元素中取出所有n个元素进行排列 | $ P(n, n) = n! $ | 所有元素都参与排列 |
| 组合 | 从n个不同元素中取出m个元素，不考虑顺序 | $ C(n, m) = \frac{n!}{m!(n - m)!} $ | 又称“二项式系数” |
| 组合数性质 | $ C(n, m) = C(n, n - m) $ | 例如：$ C(5, 2) = C(5, 3) $ | 对称性 |
| 重复排列 | 允许元素重复使用时的排列 | $ n^m $ | 每个位置都有n种选择 |
| 重复组合 | 允许元素重复使用时的组合 | $ C(n + m - 1, m) $ | 适用于“放球入盒”问题 |
三、典型例题解析
例1： 从5个不同的字母中选出3个进行排列，有多少种方式？
解：
$$
P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60
$$
例2： 从8个人中选出3人组成一个小组，有多少种选法？
解：
$$
C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{40320}{6 \times 120} = 56
$$
四、注意事项
- 在计算排列时，顺序不同即为不同的结果。
- 在计算组合时，顺序不同但元素相同视为同一组。
- 当题目中出现“至少”、“至多”等关键词时，通常需要使用组合的加法原理或减法原理来求解。
五、总结
排列与组合是解决计数问题的重要工具。掌握其基本公式和应用方法，有助于在实际问题中快速找到解决方案。通过理解排列与组合的本质区别，可以更准确地判断何时使用哪种计算方式。
如需进一步了解排列组合在概率中的应用，可参考后续文章《排列组合在概率问题中的应用》。