【如何用求根公式解一元二次方程】在数学中，一元二次方程是形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的方程，其中 $ a \neq 0 $。求解这类方程的方法之一是使用求根公式（也称为求根公式法）。该方法适用于所有可解的一元二次方程，无论其是否能因式分解。
一、求根公式的定义
一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的求根公式为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
其中：
- $ a $ 是二次项的系数；
- $ b $ 是一次项的系数；
- $ c $ 是常数项；
- $ \sqrt{b^2 - 4ac} $ 称为判别式，用于判断方程的根的性质。
二、求根公式的应用步骤
1. 确定方程中的 $ a $、$ b $、$ c $ 值
例如：对于方程 $ 2x^2 + 5x - 3 = 0 $，则 $ a = 2 $，$ b = 5 $，$ c = -3 $。
2. 计算判别式 $ D = b^2 - 4ac $
判别式决定了方程的根的类型：
- 若 $ D > 0 $，方程有两个不相等的实数根；
- 若 $ D = 0 $，方程有两个相等的实数根（即重根）；
- 若 $ D < 0 $，方程无实数根，但有两个共轭复数根。
3. 代入求根公式
将 $ a $、$ b $、$ c $ 和判别式代入公式，计算两个根。
三、示例解析
以方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 为例：
- $ a = 1 $，$ b = -4 $，$ c = 3 $
- 判别式 $ D = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 $
- 根为：
$$
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 \pm 2}{2}
$$
所以，$ x_1 = 3 $，$ x_2 = 1 $
四、总结与对比
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 确定系数 | 找出 $ a $、$ b $、$ c $ 的值 |
| 2 | 计算判别式 | $ D = b^2 - 4ac $，判断根的类型 |
| 3 | 代入求根公式 | 得到两个解 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ |
| 4 | 验证结果 | 代入原方程检查是否成立 |
五、注意事项
- 如果判别式为负数，结果将包含虚数单位 $ i $；
- 在实际计算中，应先化简方程，使其符合标准形式 $ ax^2 + bx + c = 0 $；
- 对于复杂的系数，建议分步计算，避免计算错误。
通过以上步骤和方法，我们可以系统地利用求根公式来解决一元二次方程问题。掌握这一方法不仅有助于提高解题效率，还能加深对二次方程的理解。